Les équations

I – Les caractéristiques d’une équation

Une équation est une égalité contenant au moins une inconnue, c’est-à-dire une lettre qui représente un nombre dans cette équation. Il faut que l’égalité soit vraie quand on remplace l’inconnue par ce nombre.

3x + 1 = 2x – 4 est une équation.

Pour la résoudre, il faut déterminer toutes les valeurs de l’inconnue.

II – La résolution d’équations du premier degré

On peut multiplier ou diviser les membres de cette équation, ou leur additionner ou leur soustraire un nombre.

a) Définition d’une équation de premier degré à une inconnue

C’est une équation pouvant être ramenée à une équation de la forme ax = b, où x est l’inconnue.

Exemple : 9x + 5 = 2x – 7

On peut enlever 5 aux deux membres de l’égalité.

9x + 5 – 5 = 2x – 7 – 5

9x = 2x – 12

On peut enlever 2x aux deux membres de l’égalité

9x – 2x = 2x – 12 – 2x

7x = -12

L’équation peut être ramenée à une équation de type ax = b, c’est donc bien une équation du premier degré.

b) Les propriétés pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

- Une égalité reste vraie quand on multiplie par un même nombre les 2 membres de l’égalité.

= 3x + 3 = x – 2

On peut multiplier par 4

4 X (3x + 3) = 4 X (x-2)

Soit 12x + 12 = 4x – 8

- Une égalité reste vraie quand on divise par un même nombre les deux membres de l’égalité.

= 12x + 12 = 4x – 8

(12x + 12) ÷ 2 = (4x – 8) ÷ 2

Soit 6x + 6 = 2x – 4

- Une égalité reste vraie quand on ajoute un même nombre au deux membres de l’égalité

= 3x + 1 = x – 4

3x + 1 + 2 = x – 4 + 2

Soit 3x + 3 = x – 2

- Une égalité reste vraie quand on soustrait un même nombre aux deux membres de l’égalité

= 3x + 3 = x – 2

3x + 3 – 2x = x – 2 – 2x

Soit x + 3 = -x – 2

c) La solution d’une équation de type ax = b

Elles admettent une unique solution : x = b/a

Exemple 1 :

L’équation 7x = 15 admet pour unique solution : x = 15/7

Le chiffre de droite est le numérateur.

Le chiffre de gauche avec le x est le dénominateur.

Exemple 2 :

8x + 6 = -5x + 26

8x + 6 + 5x = -5x + 26 + 5x

13x + 6 = 26

13x + 6 – 6 = 26 – 6

13x = 20

X = 20/13

Il faut ensuite vérifier : En remplaçant x par 20/13

8x + 6 = 8 X 20/13 + 6 + 238/13

-5x + 26 = -5 X 20/13 + 26 = 238/13

Il est parfois utile de développer l’expression d’au moins un des membres de l’égalité pour ramener l’équation à une équation de type ax = b

-3 (2x – 6) + 12 = -4 – 4 (x + 1)

= -6x + 18 + 12 = -6 – 4x – 4 (attention à la règle des signes)

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite.

On ajoute 4x
On soustrait 18 et 12

-6x + 18 + 12 + 4x = -6 – 4x + 4x

-2x + 18 + 12 – 18 – 12 = -6 – 18 – 12

-2x = -40

d) La modélisation d’une situation relevant d’une équation

On peut modéliser une situation relevant d’une équation.

On choisit l’inconnue x en fonction de ce qu’on recherche
On traduit les données de l’énoncé par une équation
On résout l’équation
On interprète le résultat

Exemple : Le père de Julie à le double de l’âge de Julie, et a 3 ans de plus que la mère de Julie. On sait que la somme des âges des parents est de 123 ans. Quel est l’âge de Julie ?

On appelle x l’âge de Julie

D’après l’énoncé :

- l’âge du père de Julie est 2x

- l’âge de la mère de Julie est 2x – 3

- La somme des âges des parents de Julie est égale à 123 ans

2x + (2x-3) = 123

On résout cette équation du premier degré.

2x + (2x-3) = 123

4x – 3 = 123

4x – 3 + 3 = 123 + 3

4x = 126

X = 126/4 = 31 ,5

III – Les équations produits

a) Définition d’une équation produit

C’est une équation écrite sous la forme d’un produit d’expression égal à 0

Exemple :

(2x – 1) (x+5) = 0 est une équation produit

On a bien un produit de deux expressions égales à 0

b) La résolution d’une équation produit

Un produit de facteurs est nul à condition que l’un au moins des facteurs soit nul.

Exemple :

(2x – 1) (x + 5) = 0

On a :

2x – 1 = 0

2x – 1 + 1 = 0 + 1

2x = 1

x + 5 = 0

x + 5 – 5 = 0 – 5

x = -5

IV – Les équations de la forme x² = a

En fonction de la valeur du nombre a, les équations de type x² = a admettent une ou deux solutions ou aucune.

- Soit a un nombre tel que a > 0

L’équation admet deux solutions

x = √a et x = -√a

Exemple : x² = 81 admet x = 9 et x = -9

- Soit a un nombre tel que a < 0

L’équation n’admet aucune solution

Exemple : x² = -12 n’a pas de solution car -12 < 0

- Soit a un nombre tel que a = 0 : une solution :

Exemple :

x² = 81

x² – 81 = 81 – 81

x² – 9² = 0

(x - 9) (x + 9) = 0