Les puissances et la racine carrée

I - Les puissances d'exposant positif.

Quand on multiplie un nombre plusieurs fois par le même, on peut noter le résultat sous la forme d'une puissance.

a) Définition d'une puissance

Soit un nom a. Si on multiplie n fois par lui même on peut ecrire aⁿ.

L'entier n est appelé l'exposant ou puissance 

Exemple : 

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

b) Les propriétés des puissances de base quelconque

- Soit a un nombre non nul :

a⁰ = 1  : exemple : 13⁰ = 1

- Pour tout entier n :

1ⁿ = 1

- Pour tout entier non nul :

0ⁿ = 0

II - L'inverse d'un nombre

a) Définition de l'inverse d'un nombre

L'inverse de "a" est le nombre qui multiplier par "a" donne 1

Exemple :

100 x 0,01 = 1

L'inverse de 100 est donc 0,01

b) Les inverses d'un nombre non nul et d'une fraction

L'inverse de "a" est le quotien 1 ÷ a

Exemple : 

ATTENTION : Ne pas confondre inverse et opposé : L'inverse de 5 est 0,2 mais l'opposé est -5

Pour les fractions. L'inverse de a/b est b/a

- L'inverse de 17/31 est 31/17

c) la multiplication d'un nombre par son inverse

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.

- Diviser par a, c'est multiplier par 1 ÷ a

Exemple : 125 ÷ 25 = 125 x 1/25 = 125 x 0,04 = 5

- Diviser par 1/a, c'est multiplier par a

Exemple : 12 ÷ 1/4 = 12 x 4 = 48

- Diviser par a/b, c'est multiplier par b/a

Exemple : 18 ÷ 9/2 = 18 x 2/9 = 36/9 = 4

III - Les puissances d'exposant négatif

a) Définition d'une puissance d'exposant négatif

Pour calculer a^-n revient à effectuer la division de 1 par aⁿ.

Exemple : 5^-3 = 1/5³ = 1/125

b) Les puissances d'exposant négatif et l'inverse d'un nombre

a^-n est l'inverse de aⁿ

Exemple : L'inverse de -3 est (-3)^-1, soit 1/-3¹ donc 1/-3

c) Les formules algébriques sur les puissances

- aⁿ x a ^p = a^n+p

Exemple : 3⁸ x 3² = 3⁸⁺² = 3¹⁰

- (aⁿ)^p = a^{n x p}

Exemple : (5²)⁴ = 5^2x4 = 5⁸

- aⁿ / a^p = a^n-p

Exemple : 4⁵/4³ = 4^5-3 = 4²

- (ab)ⁿ = aⁿ x bⁿ

Exemple : (2x5)³ = 2³ x 5³

- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

Exemple : (2/3)⁹ = 2⁹/3⁹

IV - La racine carrée et les carrés parfaits

a) Les carrés parfaits

Tout nombre égal au carré d'un entier

Exemple :

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

b) La racine carrée

On le note √a > 0 et (√a)² = a

√15 > 0 et (√15)² = 15